Etude d'antennes fractales : motif de Von Koch

Olivier ROFFE, élève ingénieur ENSEEIHT, 2000-2001

 



1. Introduction

Le projet choisi porte sur l’étude et la simulation d’antennes fractales. Les simulations seront réalisées à partir d’un logiciel NEC (Numerical Electromagnetic Code).

Les fractales déterministes sont basés sur un motif générateur. Ce motif est dupliqué, réduit puis appliqué à lui-même. Du point de vue mathématique la notion de fractales suppose l’application d’un nombre infini d’itérations, pour les simulations et les réalisations le nombre d’itérations est limité à 2 ou 3 étant donné la complexité des structures.

Les fractales ont la propriété d’autosimilarité, ils sont formés de copies d’eux-mêmes à des échelles différentes. Si nous introduisons les propriétés des fractales dans les antennes, il semblerait que les antennes résultantes: (1) aient la capacité de fonctionner dans plusieurs bandes de fréquence [1] et (2) puissent être miniaturisées [2].

Nous utiliserons pour fractales les itérations de la courbe de Von Koch. On part d’un segment de longueur 9 cm et on lui applique successivement un motif (triangle équilatéral) au milieu de chaques segments. Les quatre premières itérations de la courbe de Von Koch sont définis ci-dessous (figure 1).

Les longueurs des segments sont multipliées par un coefficient 4/3. Le segment de départ mesurant 9 cm, la courbe aura une longueur de 12 cm pour la première itération, puis de 16 cm pour la seconde et cette longueur tendra vers l’infini lorsque les itérations tendront vers l’infini.

 

Figure n°1 : Courbes de Von-Koch

 

2. Simulations électromagnétiques

La partie simulation est divisée en trois parties : la premier est une étude en fréquence pour obtenir la fréquence de résonance, à partir de l’impédance d’entrée et du module de S11 ; la seconde partie est l’étude de la variation des courants sur les brins d’antennes ; la dernière partie correspond à l’étude du diagramme de rayonnement.

Les caractéristiques des antennes simulés sont leurs hauteurs de 9 cm et le rayon du fil de 300µm. Pour les quatre simulations de l’ordre 0 (dipôle) à l’ordre 3 j’ai respectivement pris 401, 812, 1316, et 1280 segments.

2.1 Etude en fréquence

2.1.1 Impédance d’entrée

Les variations des parties réelles et imaginaires de l’impédance d’entrée des quatre antennes sont données aux pages suivantes, figure n° 2 à 5.

J’ai donc réalisé des études fréquentielle de 500 MHz à 1.5 GHz, pour observer les variations de l’impédance d’entrée des antennes. J’ai utilisé un pas de fréquence de 20 MHz. Les fréquences de résonance sont obtenues pour une partie imaginaire nulle, mais il est nécessaire d’avoir une partie réelle suffisamment grande pour que l’antenne puisse rayonner. On peut donc constater que les fréquences de résonance de ces quatre antennes sont 1.45 GHz, 1.2 GHz, 1.04 GHz et 950 MHz.

Il semblerait donc que les fractales permettent de rayonner à des fréquences plus petites pour une antenne de même hauteur.

J’ai vérifié de plus que la valeur de partie réelle de l’impédance d’entrée pour la première fréquence de résonance (partie imaginaire nulle) est de 74.5W à 0,8 GHz, ce qui correspond bien à l’impédance d’entrée d’un dipôle qui est de l’ordre de 73W .

Figure n°2 : Impédance d’entrée du dipôle

Le dipôle présente deux fréquences de résonance une à 0,8 GHz et l’autre à 1,45 GHz, les parties réelles sont respectivement de 74,5 W et 1630 W .

Figure n°3 : Impédance d’entrée de la première itération

Le dipôle présente trois fréquences de résonance à 0,66 GHz, à 1,2 GHz, et à 1,96 GHz les parties réelles sont respectivement de 48,3 W , 2430 W et 95W .

Figure n°4 : Impédance d’entrée de la seconde itération

Le dipôle présente trois fréquences de résonance à 0,58 GHz, à 1,03 GHz, et à 1,69 GHz les parties réelles sont respectivement de 37,8 W , 2870 W et 50W .

Figure n°5 : Impédance d’entrée de la troisième itération

Le dipôle présente quatre fréquences de résonance à 0,54 GHz, à 0,94 GHz, à 1,54 GHz et à 1,87 GHz, les parties réelles sont respectivement de 33,7 W , 3060 W , 37W , et 1890W .

 

2.1.2 Calcul de S11

Dans un second temps, j’ai étudié le module de S11 (figure n°6) pour connaître l’adaptation de l’antenne, puis j’ai représenté S11 en partie réelle et partie imaginaire(figure n°7 à 10).

 

Figure n°6 : Module de S11 pour les quatre antennes

Les fréquences correspondant à l’adaptation d’antenne sont 0,78 GHz pour le dipôle, 0,66 GHz et 1,95 GHz pour la première itération, 0,58 GHz et 1,7 GHz pour la seconde itération, et 0,54 GHz et 1,54 GHz pour la troisième itération.

Figure n°7 : Partie réelle et imaginaire de S11 pour le dipôle

 

Figure n°8 : Partie réelle et imaginaire de S11 pour la première itération

Figure n°9 : Partie réelle et imaginaire de S11 pour la seconde itération

 

 

Figure n°10 : Partie réelle et imaginaire de S11 pour la troisième itération

 

2.2 Etude des courants

Avant de réaliser l’étude des courants sur les antennes, j’ai effectué une seconde simulation en fréquence autour des fréquences de résonance et avec un pas plus petit. J’ai obtenu cette fois ci les fréquences suivantes :1.441 GHz, 1.240 GHz, 1.039 GHz, et 0.95 GHz

J’ai réalisé l’étude en courant pour ces fréquences là.

Les résultats de simulation sont exposés ci-dessous .

 

Figure n°11 : Répartition du courant sur les différents segments du dipôle

 

Figure n°12 : Répartition du courant sur les différents segments de la première itération

Figure n°13 : Répartition du courant sur les différents segments de la seconde itération

 

Figure n°14 : Répartition du courant sur les différents segments de la troisième itération

Pour le dipôle, le courant est réparti suivant deux arches de sinusoïdes. Pour la troisième itération, la répartition des courants se rapproche de la répartition du courant pour le dipôle : à la résonance, lorsque l’on augmente le degré d’itération pour ces antennes fractales ont se rapproche de la répartition du courant pour le dipôle.

 

2.3 Diagramme de rayonnement

Pour l’étude des digrammes de rayonnement, les antennes sont placées dans le plan yOz, la hauteur de l’antenne dans l’axe Oz et les triangles pointés vers les y négatif.

Les diagrammes de rayonnement suivant q et j sont représentés sur les figures n°15 à 18.

2.3.1 Le dipôle

Figure n°15 : Diagramme de rayonnement suivant q et j pour le dipôle

On reconnaît le diagramme de rayonnement classique du dipôle ˝ onde. Le diagramme de rayonnement suivant j est un cercle car le dipôle est placée dans l’axe z, il y a donc une symétrie de révolution autour de z.

2.3.2 1° itération de la courbe de Von-Koch

Figure n°16 : Diagramme de rayonnement suivant q et j pour la première itération

Le diagramme de rayonnement suivant q est proche du diagramme de rayonnement classique du dipôle ˝ onde. Suivant j nous n’avons plus un cercle car l’antenne rayonne un peu plus vers les y négatifs et l’amplitude a diminué.

 

 

 

2.3.3 2° itération de la courbe de Von-Koch

 

Figure n°17 : Diagramme de rayonnement suivant q et j pour la seconde itération

Même remarque pour cette itération.

 

2.3.4 3° itération de la courbe de Von-Koch

 

Figure n°18 : Diagramme de rayonnement suivant q et j pour la troisième itération

Le diagramme de rayonnement suivant q est toujours proche du diagramme de rayonnement classique du dipôle ˝ onde, mais l’amplitude diminue légèrement. Suivant j , il semblerait que le diagramme se rapproche d’un cercle bien qu’il y ait encore des écarts significatifs, par contre l’amplitude continue de diminuer.

 

3. Conclusion

 

L’objectif du projet parrainé est de nous initier au domaine de la recherche. Il a donc fallut passer du stade de la théorie et de l’exercice application à un stade où l’autonomie, l’initiative, et la persévérance sont nécessaires.

 

 

Références :

[1] C. PUENTE BALIARDA, J. ROMEU, R. POUS, A. CARDAMA, "On the Behavior of the Sierpinsni Fractal Antenna", Antennas and Propagation, IEEE Transactions on , Vol. 46, Issue: 4 , April 1998, pp. 517-524

[2] C. PUENTE BALIARDA, J. ROMEU, A. CARDAMA,"The Koch Monopole : A Small Fractal Antenna", Antennas and Propagation, IEEE Transactions on , Vol. 48, Issue: 11 , November 2000, pp. 1773 –1781